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(许志强)低秩矩阵恢复中的最小观测次数问题
2019-01-15 | 编辑:

  低秩矩阵恢复问题在信号及数据处理中有着广泛的应用,亦是近期应用数学中的一个热点研究问题。假定 Q Cd×d 秩不超过 r,且已知 yj=<Aj, Q>, j=1,...,m, 这里 AjCd×d 为已知矩阵。低秩矩阵恢复问题描述为:如何通过观测向量(y1, y2,..., ym)恢复秩不超过 r 的矩阵QCd×d ?低秩矩阵恢复中一个基本问题是:若恢复秩不超过r 的矩阵 Q, 至少需要多少次观测?也就是m最小为多少?对于r≤d/2Eldar, Needell, Plan猜想最小观测次数为4dr-4r2。采用行列式代数簇工具,我们对复的情形证明了该猜想成立。对实情形,采用计算代数几何的工具,如 Grobner 基,Sturm序列等,构造了一个反例。从而在实情形否定了该猜想。因而给了这个问题一个完备的回答。 

  利用信号在子空间上投影的范数对信号进行恢复即为投影相位恢复。著名相位恢复专家 P. Casazza 等人证明了:对于d 维实信号,可用2d ?1次投影将其唯一确定。P. Casazza 等人进一步提出如下公开问题:2d ?1次投影是否最少?利用计算代数几何方法,我们也否定回答了该公开问题。并依此为基础,建立了仿射相位恢复的理论框架。 

 

 

  发表论文    

  1. Zhiqiang Xu, The minimal measurement number for low-rank matrix recovery, Appl. Comput. Harmon. Anal. 44 (2018) 497-508.(唯一作者) 

  2. Bing Gao, Qiyu Sun, Yang Wang and Zhiqiang Xu, Phase retrieval from the magnitudes of affine linear measurements, Advances in Applied Mathematics 93 (2018) 121-141. (通讯作者) 

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